环

1 环的定义

如果一个非空集合 $R$上定义了两个二元运算 + 和 ⋅ ，分别称为加法和乘法，满足： （1）$(R,+)$ 是Abel群(也称交换群) （2）$(R,\cdot)$ 是半群（满足乘法结合律） （3）乘法对于加法满足左分配律、右分配律，即对于$\forall a,b,c\in R$，有 $(a+b) \cdot c=a\cdot c + b \cdot c$ 且 $c\cdot (a+b)=c\cdot a + c \cdot b$ 则称 $R$关于运算 +,⋅ 构成一个环（ring），记为 $(R,+,\cdot)$ ，或简记为$R$ 。

上述定义中，环中的“加法”和“乘法”只是对于这两种运算的代称，并不一定指算术中的加法和乘法，正如群中的乘法一样。

1.1 含幺环

如果环 $R$ 中存在乘法单位元 1 ，即对于 $\forall a\in R$ 有 $a1=1a=a$成立，则称环 $R$为含幺环或含单位元的环（ring with identity），该乘法单位元称为环的单位元。

环一定有零元，但未必有单位元。只有一个元素的环称为零环，是平凡环，其他所有的环为非零环。如果不加说明，含幺环通常指的是非平凡且含单位元的环。

1.2 交换环

如果环 $R$的乘法满足交换律，即对于 $\forall a,b\in R$有$ab=ba$成立，则称环$R$ 为交换环（commutative ring），否则称为非交换环（noncommutative ring）。

1.3 数环

整数$\mathbb{Z}$ ，有理数 $\mathbb{Q}$，实数 $\mathbb{R}$ 和复数$\mathbb{C}$关于算术加法和乘法分别构成整数环、有理数环、实数环和复数环，通常也用它们的集合符号表示。这些数环都是含幺的交换环。另外，偶数$2\mathbb{Z}$ 也构成交换环，但不含单位元。

1.4 模n剩余类环

在模n剩余类群 $\mathbb{Z}_n$ 中，定义乘法$[a][b]:=[ab]$，可以验证该乘法是良定义的，且满足结合律，因此 $\mathbb{Z}_n$ 关于加法和乘法构成环，且该环是含幺的交换环，单位元是 [1] 。

1.5 n阶全矩阵环

环 $R$ 上的所有$n$阶矩阵构成的集合 $M_n(R)$对于矩阵的加法和乘法构成环，称为$R$上的 $n$ 阶全矩阵环。如果 $R$ 有单位元，则 $M_n(R)$也有单位元，其单位元是 $n$ 阶单位矩阵。

1.6 多项式环

多项式定义：设R是个环$R[x]=:\left\{ f(x)=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}} |a_{k}\in R,k=0,1\cdot\cdot\cdot,n,n\in N\right\}$中每个元素叫做R上x的多项式；自然引进：常数项、系数、次数degf¹、首项、首1、相等; 规定 $deg0=-\infty$

多项式环的定义：在R[x]中自然定义加法、乘法，称 $(R[x],+,\cdot)$为多项式环；

实际上，设 $f(x)=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}$，$g(x)=\sum_{j=0}^{m}{b_{j}x^{j}}$,

则 $f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^{max\left\{ m,n \right\}}({a_{i}+b_{i}})x^{i}$ , $i>min\left\{ m,n \right\},$, 自然规定相应系数为0；

$f(x)\cdot g(x)=\sum_{i=0}^{m+n}(\sum_{k+j=i}{a_{k}b_{j}})x^{i}$ ;

类似地，可定义n元多项式环 且可看成$R[x_{1},x_{2},\cdot\cdot\cdot,x_{n}]$,且$R[x_{1},x_{2}]$可看成$R[x_{1}][x_{2}]$ 等等.

1.8 分圆环

分圆环是一个数论结构，通常用来描述复数域的某些子集在单位圆上的点的集合。简单来说，它是一个在某个数域中由单位根组成的子集所构成的环，其中加法和乘法运算定义为两个单位根的加法和乘法。

具体来说，对于一个数域 $K$ 和正整数 $n$，分圆环 $\mathbb{C}_n$ 是由 $K$ 中所有 $n$次单位根构成的集合所构成的环。这个环可以用 $\mathbb{C}_n = { \zeta \in \mathbb{C} \mid \zeta^n = 1 }$ 的形式来表示。

$R=\mathbb{Z}[X]/(X^n+1)$ 表示由 $\mathbb{Z}[X]$ 中所有多项式与理想 $(X^n+1)$ 所构成的商环。换句话说，$R$ 中的元素是由形如 $a_0 + a_1X + a_2X^2 + \cdots + a_{n-1}X^{n-1}$ 的多项式在模掉 $(X^n+1)$ 之后所得到的剩余类。

这个环可以看作是 $\mathbb{Z}[X]$ 中的多项式在模掉 $X^n+1$ 之后所得到的剩余类的集合，而在这个剩余类集合上，我们可以定义加法和乘法运算。具体来说，对于 $R$ 中的两个元素 $f(X)+(X^n+1)$ 和 $g(X)+(X^n+1)$，定义它们的加法为 $(f(X)+g(X))+(X^n+1)$，定义它们的乘法为 $(f(X) \cdot g(X))+(X^n+1)$。

$\mathbf{a}\leftarrow U(R_q^d)$ 表示从 $R_q^d$ 中均匀随机选择一个元素 $\mathbf{a}$。其中，$R_q$ 是模 $q$ 的整数环，$R_q^d$ 表示由 $d$ 个 $R_q$ 中的元素构成的向量空间，$\mathbf{a}$ 是一个 $d$ 维向量，每个元素都是 $R_q$ 中的一个随机数。

1.9 子环

设 $(R,+,\cdot)$ 是环， $S$ 是 $R$ 的非空子集，如果 $(S,+,\cdot)$ 也是环，则称 $S$ 是环 $R$的子环（subring）。

参考链接

多项式环

【抽象代数】7. 环的定义与基本性质

¹:在代数中，对于一个非零多项式 f(x)，它的次数指的是最高项的次数，记作 deg f(x)。具体地，如果 f(x) 可以表示为f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n,其中 a_n ≠ 0，则 f(x) 的次数为 n，即 deg f(x) = n。如果 f(x) 是零多项式，则它的次数为 −∞。